A Equação do Segundo Grau

quadrática2

As equações do segundo grau ou quadráticas sao um dos assuntos elementares mais fascinantes em toda Matemática. Elas surgem de várias aplicações geométricas, físicas, problemas históricos e de contagem.

Na Física, o cálculo do tempo de queda de um projétil lançado próximo a superfície terrestre requer a resolução de uma equação do segundo grau. Elas também surgem no cálculo dos autovalores de uma matriz quadrada de ordem 2. Existem tantos outros exemplos em vários campos do conhecimento em que esta equação está presente, que é importantíssimo o seu estudo e compreensão.

Definição 1: Sejam ,  e  números reais com . A equação

é dita equação do segundo grau ou quadrática. Os números ,  e  são os coeficientes da equação. Se  ou  são nulos, dizemos que (1) é uma equação incompleta. Caso contrário, ela é dita completa.

Definição 2: O número  é uma raiz ou zero da equação quadrática (1) se

Proposição 1: Se  e  são raízes distintas da equação (1), então:

Demonstração:

 Sendo  e , segue que

 

Mas, , de modo que

 Note que

Por outro lado,

 

Usando a expressão (2), temos:

donde segue o resultado.

Observe que esta Proposição nos possibilita achar a soma e o produto das raízes da equação quadrática sem conhecê-las.

Definição 3: Chama-se discriminante da equação (1) o número

Corolário 1: Se  e  são as raízes da equação quadrática (1), então

Demonstração: De fato,
Da expressão (2), segue que

Proposição 2: As raízes da equação quadrática incompleta   são  e

Demonstração: De fato,

Portanto, se o coeficiente  da equação quadrática é nulo, podemos colocar
 como fator comum em evidência e resolver facilmente a equação.

Proposição 3: As raízes da equação quadrática incompleta  são dadas por

Demonstração: Imediata.

Proposição 4: As raízes da equação quadrática (1) são:

Demonstração: Da Proposição 1 e do Corolário 1, temos o sistema de equações nas variáveis  e :

Somando e subtraindo essas equações, segue o resultado.

Observe que se o discriminante  for nulo, teremos uma raiz de multiplicidade 2 e se ele for negativo as raízes não são reais.


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PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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