Deduzindo a Série Binomial Através de uma EDO

 

newton2

O binômio de Newton é comumente apresentado com expoente natural , ou seja,  e cuja demonstração é feita por indução finita. Veremos neste post como podemos generalizar o binômio adotando expoentes reais. Para , note que

  onde

Assim, desta expressão, basta analisar o binômio . Para isso, seja

Derivando (1) em relação a  e multiplicando por , temosSendo , obtemos o problema de valor inicial:Para achar uma expressão o binômio de Newton, iremos procurar uma solução  em termos de séries de potências, isto é, Derivando (3) em relação a , temos:

Substituindo (3) e (4) em (2), segue que 

Fazendo  no primeiro somatório, obtemos:

Sendo , segue que . Assim, de modo que

Logo, Exemplo: Use o binômio de Newton e expanda a expressão .Resolução: Substituindo  em (6), temos: Observação: Note que se , segue da expressão (5) que e sendo  para , obtemos: ou seja, a expressão (6), reduz-se a um polinômio envolvendo coeficientes binomiais.


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PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

4 respostas para ‘Deduzindo a Série Binomial Através de uma EDO

  1. Olá, Prof. Paulo Sérgio!!!! Isto é… “bótimo”!!!! Como há vários caminhos para chegarmos à cidade eterna, então, tomei de uma “vereda” e resolvi um problema que criei e lancei em 1992 e, cuja resolução envolvia uma modificação do Binômio de Newton, passados exatos 20 anos de espera que estipulei pela resposta por alguém, finalmente, apresentei a minha solução para o desafio do “BIG SUSTO”, através do Matemágicas e Números. Caso queira dar uma espiada, o endereço da postagem é: https://matemagicasenumeros.blogspot.com.br/search?updated-max=2012-11-17T16:05:00-08:00&max-results=10&start=21&by-date=false#.WlXxk6inGUk e assim provei para os “descrentes” que o desafio tinha pelo menos uma solução!!!!

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    1. Olá grande amigo Valdir. Obrigado pelas seu comentário e compartilhamento de ideias matemáticas. Li o seu o seu artigo e realmente ele possui muitas matemágicas essenciais para cálculos mentais.

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