Provando Desigualdades Através de Funções Lineares

desigualdade_linear

As desigualdades desempenham um grande papel em várias teorias e é um assunto muito cobrado nas Olimpíadas de Matemática. Neste post, veremos como podemos usar as funções lineares para provar algumas delas.

Definição 1: Dizemos que a função , dada por  com  é uma função afim. 

Proposição 1: Considere a função afim .

i) é crescente se e somente se ;

ii)  é decrescente se e somente se .

Demonstração: Provaremos o item i), pois o item ii) segue de forma análoga. Para isso, sejam  com  e suponhamos que a função afim  seja crescente, isto é,

Sendo , segue que . Reciprocamente, suponhamos que  e sejam  com . Para provar que , basta mostrar que . De fato,   e sendo , segue o resultado.

Proposição 2: (Desigualdade aritmética-geométrica) Sejam  e  dois números reais não-negativos. Então 

Demonstração: Sendo  para quaisquer números reais não-negativos, então , donde segue o resultado.

Proposição 3: Se a função afim  com  possui  e , então  para todo  conforme a figura acima.

Demonstração: Geometricamente vemos que ele é verdadeiro, mas para os céticos, vejamos uma prova analítica. Suponhamos que existe  tal que . Se ,  pela proposição 1,  é uma função crescente, de modo que . Absurdo. Se , novamente pela proposição 1,  é uma função decrescente, de modo que . Absurdo.

Vejamos agora, como podemos usar o teorema 2 para provar desigualdades.

Exemplo 1: Sejam  e  números reais não-negativos tal que . Prove que 

Resolução: Podemos reescrever a desigualdade acima, do seguinte modo: 

Fazemos  e consideremos a função afim na variável , dada por . Para esta função precisamos determinar agora todos os valores possíveis de . Pela desigualdade aritmética-geométrica, sabemos que
usando o fato que . Por hipótese, sabemos que . Assim, pelo proposição 3 é suficiente mostrar que  e , onde . De fato, e

A prova está completa. A igualdade é válida se e somente se os três números são iguais a 1. Para ver isso, basta determinar os valores para os quais a função linear anula-se nos pontos extremos do intervalo. Note que  não tem solução, pois  possui . Por outro lado,

de modo que . Sendo , segue que

 

é o menor valor que satisfaz a desigualdade, donde segue que .

Exemplo 2: Prove que se  e  são números reais não-negativos tal que , então

Resolução: Sabemos que . Fazendo  e , temos

Substituindo (3) em (2), segue que

Sendo , então

ou seja,

Colocando  e considerando o lado esquerdo como uma função linear de , temos

Note que  por hipótese e sendo

Pela proposição 3, iremos mostrar que   e . De fato,

e

e a desigualdade segue.

Referência Bibliográfica:

– Thuan, Pham Van, Hun, Van. Proving inequalities using linear functions. Mathematical Reflections, 4, (2006).


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PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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