Coeficientes Binomiais Generalizados

Devemos a Isaac Newton a descoberta de que o binômio  também é válido se  é um número inteiro ou fracionário. Este fato, foi muito explorado por ele que fez um uso expressivo das séries infinitas em suas pesquisas matemáticas. Sendo assim, é muito justo homenagear Isaac Newton, colocando seu nome no binômio acima.

Uma vez que o expoente  pode ser fracionário, por analogia aos coeficientes binomiais comuns, é natural dar um passo a frente e apresentar os coeficientes binomiais generalizados.

Definição 1: Sejam  números inteiros com . O coeficiente binomial generalizado é definido por:

 e

para .

 Exemplo 1: Calcule os coeficientes binomiais generalizados abaixo:

a) 

b) 

c) 

 Resolução: 

a)

b)

c)

Observamos no item c) que se a fração  é um número natural, o coeficiente generalizado reduz ao coeficiente binomial clássico.

Proposição 1: Sejam  inteiros com  e . Então

Demonstração: Usaremos indução finita sobre . Para , temos:

 Suponhamos que a expressão acima seja válida e provaremos sua validade para . De fato,

Observação 1: Sendo

segue que

Exemplo 2: Calcule 

Resolução: Da Observação anterior, temos:

Proposição 2: Sejam  com  e . Então:

Demonstração: A prova desse teorema é um caso particular apresentado neste link: Deduzindo a Série Binomial Através de uma EDO.

Exemplo 3: Use a proposição 2 e ache a expansão em série de Mclaurin de 

 Resolução: De fato,

Observação 2: É possível provar que 

i) 

ii) 


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PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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