Um Problema de Mistura Através de EDO’s

misturas

Um tipo de problema muito comum na Engenharia Química consiste em efetuar um balanço de massa, de volume ou energético de um sistema aberto (um reator químico, por exemplo). Neste post vejamos como podemos usar as equações diferenciais para resolver um problema simples de mistura.

         Suponhamos então que num instante , tanque com capacidade  litros contenha   de sal dissolvido. Faz-se entrar no tanque uma solução de sal a   a uma vazão de  e o líquido bem misturado, está saindo do tanque a essa mesma taxa conforme a figura acima. O objetivo é determinar a quantidade de sal presente no tanque num instante qualquer.

          Para resolver este problema iremos supor que o sal não criado nem destruído dentro do tanque. Portanto, as variações na quantidade de sal devem-se apenas, aos fluxos de entrada e saída no tanque. Matematicamente, a taxa de variação de sal no tanque  é igual a razão de entrada do sal menos a razão de saída, ou seja:

Observe que

Como a vazão de entrada é igual a vazão de saída, o volume de água no tanque permanece constante e igual a  e como o líquido está sendo mexido constantemente, a concentração de sal em todo tanque em um instante qualquer é igual a Portanto, a taxa segundo a qual o sal deixa o tanque é

Segue de (1) que

Sendo  a concentração inicial de sal no tanque, temos o problema de valor inicial

que é uma equação diferencial linear de  ordem. Multiplicando esta equação pelo fator integrante , temos:

 

donde segue que .  Sendo , então . Logo,

Exemplo 1: Uma solução de  de sal em água está num tanque de . Faz-se entrar água nesse tanque na razão de  e a mistura mantida homogênea por agitação, sai do tanque na mesma razão. Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de  hora?

Resolução: Note que  pois entra somente água e . Assim, após , temos:

Exemplo 2: Considere um tanque utilizado para experimentos. Depois de um experimento o tanque contém  de uma solução de concentração . Para preparar o tanque para o próximo experimento, o tanque é lavado com água pura, que entra com uma vazão de  e a solução homogênea sai novamente do tanque com a mesma vazão. Determine o tempo necessário para que a solução tenha uma concentração de corante  do valor original.

Resolução: Sendo  e , segue da fórmula acima que .  Consequentemente, o tempo necessário para que a solução tenha uma concentração de corante de  do valor original é .


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PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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