Relações Diferenciais Entre Cargas, Forças Cortantes e Momentos Fletores

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Figura 1: Viga bi-apoiada, isostática com carregamentos concentrados, forças distribuídas e momento fletor.

Neste post, usaremos as propriedades de crescimento e decrescimento das funções de uma variável e técnicas de cálculo diferencial e integral para deduzir as relações diferenciais entre força cortante e momento fletor. Em seguida de posse do diagrama de momento fletor de vigas isostáticas obtido por integração, iremos dimensionar as vigas prismáticas submetidas à flexão pura.

Definição 1: Denomina-se viga a estrutura formada por uma barra, de eixo plano, submetida a esforços, contidos no plano da estrutura. Quando a viga é apoiada só em uma extremidade, de tal forma que, nesse ponto, não possam girar, quer o eixo, quer a seção transversal, diz-se que se trata de uma viga engastada ou em balanço.

Definição 2: ma viga articulada nas duas extremidades, recebe o nome de viga simples. Os apoios articulados devem, um deles, ser articulado simples, e o outro articulado móvel.

Quando se carrega uma viga aparecem, em geral, esforços internos, constituídos por tensões normais e de cisalhamento, nos diversos pontos de seu interior. Para determiná-los é necessário, de início, calcular a força e o momento que estão solicitando a seção considerada. Isto se obtém com a aplicação das equações da Estática.

Os diagramas de esforços internos são traçados para se determinar a evolução das forças cortante, axial e do momento fletor ao longo da viga, respectivamente. De certo modo, o momento fletor numa seção qualquer é a soma algébrica dos momentos produzidos pelos esforços externos (ativos e reativos) no centro de gravidade da seção considerada. De maneira análoga, força cortante é a resultante desses esforços projetada sobre a seção considerada.

A convenção usual de sinais, para momentos fletores e forças cortantes, pode ser representada pelos diagramas na figura 2:

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Figura 2: Convenção de sinais para elaborar os diagramas de força cortante e momento fletor.

Assim, o momento fletor é positivo quando tende o fletir a viga com concavidade para cima e negativo quando tende a imprimir-lhe concavidade para baixo. (supõe-se, sempre, que a viga seja disposta horizontalmente). A força cortante é positiva quando tende a deslocar, para cima a parte da viga que se situa à esquerda da seção considerada e negativa em caso contrário.

Frequentemente, aparece a necessidade de determinar o momento fletor e a força cortante em todas as seções da viga. Para esse fim, podem localizar-se as diversas seções da viga, por meio de suas abscissas  (distâncias ao apoio da esquerda) e exprimirem-se  em função de . A representação gráfica da função  tem o nome de diagrama das forças cortantes; as abscissas representam as diversas seções da viga e as ordenadas os valores da força cortante correspondente. Da mesma forma traça-se o diagrama de momentos fletores. Esses diagramas permitem facilmente, determinar a seção em que eles atingem seus máximos, ou se anulam; tem-se assim um processo prático de obter os esforços solicitantes ao longo de toda viga.

O equilíbrio de vigas pode ser imposto globalmente o que resulta na determinação das reações de apoio (para vigas isostáticas), ou em porções isoladas, o que possibilita a determinação dos esforços internos. As condições de equilíbrio para vigas também podem ser impostas em pequenas porções isoladas, o que resulta em relações diferenciais de equilíbrio entre a taxa de carregamento transversal, o esforço cortante e o momento fletor.

Proposição 1: Considere a viga bi-apoiada com carga uniformemente distribuída conforme a figura 3. 

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Figura 3: Solicitações em uma seção S de uma viga bi-apoiada.

i)  A derivada da força cortante em relação a  é igual ao oposto da carga distribuída, isto é,

 

ii) A derivada do momento fletor em relação a  é igual a força cortante, isto é, 

Demonstração: 

i) No trecho de comprimento , temos:
Fazendo , segue o resultado.
ii)  No trecho de comprimento , fazendo a somatória de momentos em relação à seção S, sendo que anti-horário é o sentido positivo, temos:
Dividindo ambos os membros por , temos:
Mas, , de modo que

Fazendo , segue o resultado.

As expressões (1) e (2) são chamadas relações diferenciais de equilíbrio de vigas.

 Corolário 1: A inclinação da reta do diagrama de força cortante é igual ao oposto da carga distribuída, isto é, .

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Figura 4: Gráfico da força cortante  Q(x).

Demonstração: De fato, no diagrama da figura 4, temos:

Proposição 2: Seja  uma função duas vezes derivável nos pontos do intervalo aberto . Se  para todo , então a curva  é côncava para baixo em .

Não demonstraremos este teorema, mas faremos aqui a seguinte observação. Se  para todo , então a função  é decrescente em . Assim,  decresce à medida que  cresce, desse modo, temos que a curva  é côncava para baixo em .

Corolário 2: Nas regiões da viga em que existem forças distribuídas, o diagrama de momento fletor é côncavo para baixo.

Demonstração: De fato, derivando a expressão (2) em relação a  e usando a expressão (1), temos

Pela Proposição 2, segue que  é côncava para baixo nas regiões em que existem forças distribuídas.

Corolário 3: Em uma viga bi-apoiada, a soma das áreas abaixo do diagrama de força cortante é nula.

vigabiapoiada
Figura 5: Viga bi-apoiada de comprimento l.

Demonstração: Considere uma viga bi-apoiada de comprimento  conforme a figura 5. Como a viga está em equilíbrio estático, então . Assim,

Corolário 4: Seja  um ponto no interior de uma viga bi-apoiada. O momento fletor em  é dado por:

Demonstração: De fato,

A outra expressão segue do fato que

Proposição 3: Forças concentradas causam mudanças abruptas no diagrama de força cortante, isto é,

Demonstração: Considere uma pequena porção de comprimento  na viga conforme a figura 6.

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Figura 6: Força concentrada P agindo em uma seção S de largura Δx de uma viga.

 

Exemplo 1: Considere o diagrama de força cortante conforme a figura 7. Determine:

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Figura 7: Diagrama de força cortante de uma viga.

a) o valor de ;
b) o valor da carga distribuída no trecho ;
c) o valor da carga concentrada nos pontos  e ;
d) a localização dos apoios.

Resolução: 

a) Pelo Corolário 3, a soma das áreas sob o diagrama deve ser nula. Assim,


b) Pelo Corolário 1,

c) Pela Proposição 1, a carga concentrada é o oposto da variação abrupta no diagrama de força cortante, isto é,
d) Sendo a força em  igual a  e , (força em ), segue que os apoios da viga bi-apoiada estão nestes pontos.

Proposição 4: Momentos fletores em uma viga causam mudanças abruptas no diagrama de momento fletor.

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Figura 8: Momento fletor Mo agindo em uma seção S de uma viga.

Demonstração: Considere uma pequena porção de comprimento  na viga conforme a figura 8. Fazendo o somatório de momentos em relação à seção  e adotando como positivo o sentido anti-horário, temos:


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PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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