Critérios de Divisibilidade Para 2,3,4 e 5

capatopicos2

O primeiro contato dos estudantes nas séries iniciais com a Matemática é através da Aritmética. Em uma das etapas, a simplificação dos termos de uma fração faz-se necessário e os critérios  de divisibilidade são relevantes nesta tarefa.

Alguns estudantes argumentam que a simplificação de uma fração  pode ser auxiliada por uma calculadora eletrônica. Os que defendem este argumento não percebem que a Matemática é de certo modo um jogo de ideias e conexões que deve ser praticado exaustivamente, e não meramente um conjunto de regras desconexas que são usadas através de outros instrumentos.

Nesta linha de pensamento, sou totalmente contra o uso de calculadoras no ensino de matemática, devendo o professor concentrar seus esforços em ensinar os critérios de divisibilidade com pequenas justificativas suficientes para os estudantes. Neste post, procuro apresentar essas regras e suas justificativas que são em geral omitidas por livros e sites.

1) Divisibilidade por 2: Um número natural N é divisível por 2 se ele termina em 0,2,4,6 ou 8. Neste caso, dizemos que N é um número par. Os números que não são pares são chamados de ímpares.

Deste modo, 1478, 954, 1000 e 26 são divisíveis por 2, enquanto os números 1355, 4081 e 1.345.803 não são, ou seja, são números ímpares.

A justificativa provém do nosso sistema decimal de numeração. Com exceção das unidades, as demais casas decimais são divisíveis por 10 e portanto por 2.

2) Divisibilidade por 3: Um número natural N é divisível por 3 se a a soma dos algarismos de N é um número divisível por 3.

Sendo assim, 1986 é divisível por 3 ou de outra forma, 3 | 1986, pois 1 + 9 + 8 + 6 = 24 que é divisível por 3. O número 74512 não é divisível por 3, pois 7+4+5+1+2 = 19 que não é divisível por 3.

Vejamos como podemos construir um argumento simples com números o qual pode ser generalizado. Primeiro notamos que os números 9, 99, 999 são todos divisíveis por 3. Assim, se  com , então podemos reescrever N na forma:

Portanto, se  for divisível por 3, N também será divisível por 3. O caso geral segue da seguinte proposição:

Proposição 1: Seja  um inteiro positivo. Então 

Demonstração: Usaremos indução finita sobre . Para , temos:

Suponhamos a expressão (1) seja válida e provaremos que ela é verdadeira para . De fato,

Desta forma, provamos que . Para  e , segue que . Em particular, .

3) Divisibilidade por 4: 

Critério 1: Um número natural N é divisível por 4 se o número formado pelos dois últimos dígitos de N é divisível por 4.

Por exemplo, 636 é divisível por 4 pois 4 | 36 e 19.996 também é divisível por 4, pois 96 é divisível por 4.

A justificativa é baseia-se no fato que 100, 1000, 10.000, etc são todos divisíveis por 4. Assim, se

Podemos escrever

Portanto, se o número formado pelos dois últimos dígitos for divisível por 4, N também será.

Critério 2: Um número natural N é divisível por 4 se o número formado pelo soma dos algarismos da unidades com o dobro do algarismo das dezenas for um número divisível por 4. 

Por exemplo, 19.996 é divisível por 4, pois o número  é divisível por 4. Note que este critério é útil quando os dois últimos algarismos de N conter os dígitos 7, 8 ou 9.

A justificativa segue do fato que  e portanto, se  for um divisível por 4, pelo critério anterior, N também será.

4) Divisibilidade por 5: Um número natural natural N é divisível por 5 se  termina em 0 ou 5.

Assim, os números 2245 e 344530 são divisíveis por 5. A justificativa segue do fato que 10, 100, 1000, etc. são todos divisíveis por 10 e portanto por 5. Assim, se

podemos escrever 

 

e sendo , para  e , N será divisível por 5.


 Leia outros posts na lista Posts por Ordem Alfabética.
PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair /  Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair /  Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair /  Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair /  Alterar )

w

Conectando a %s