Segmentos Comensuráveis e Incomensuráveis

Artigo enviado pelo Prof. Junior Cesar Soares.

Definição 1:  A medida de um segmento , representado por ,é um número que deve exprimir quantas vezes o segmento  contém o segmento , fixado previamente, tomado como unidade de medida ou segmento unitário. 

Comensurável é aquilo que podemos medir. Se  um segmento unitário, podemos calcular a medida do segmento  conforme a figura 1:

segmentox
Figura 1: Medida dos segmentos AB em relação ao segmento u.

Podemos à partir da figura 1, apresentar uma definição melhor para segmentos comensuráveis como segue:

Definição 2: Dado um inteiro positivo , se for possível obter  pontos intermediários  no segmento  tal que os segmentos   sejam todos congruentes ao segmento unitário previamente definido, conclui-se que a medida do segmento  será 

Uma pergunta apropriada seria: e se o segmento  não conter o segmento unitário um número inteiro de vezes?

segmentox1
Figura 2: Segmento unitário u e segmento AB.

Caso isso ocorra, buscamos um segmento que é um subunidade do segmento unitário , de tal maneira que possamos medir o segmento  por esta unidade.

segmentox2
Figura 3: Sub-segmento de u e segmento AB.

Como escrevemos anteriormente suponha que  e que , ou seja, Suponha que o segmento  contenha três vezes o segmento , isto é, Seja  um segmento que esteja contido  vezes em  e  vezes em  () concluímos que:

Assim,

ou seja, , pois por suposição . Neste caso, dizemos que  é um submúltiplo comum de AB e , e com isso,  e  são comensuráveis. Portanto, um segmento  é comensurável com  quando sua medida  for um número inteiro ou fracionário.

Será que isso sempre é possível?

Considere o seguinte quadrado abaixo de lado  e sua diagonal :

quadrado
Figura 4: Quadrado de lado 1.

Pelo teorema de Pitágoras temos que , ou seja, . Nossa atenção agora será voltada a demonstrar de que o lado do quadrado e sua diagonal são segmentos que não são comensuráveis, ou seja, são incomensuráveis.

Suponha que sejam comensuráveis, ou seja, exista um número racional  tal que , ou seja, . Assim temos que

Sem perda de generalidade, suponha que  são primos entre si, o que é equivalente a dizer que . Assim:

Antes de prosseguir vamos demonstrar o seguinte lema:

Lema 1: Se  é par, então  é par.
Demonstração: Usaremos a técnica de demonstração conhecida por contra-positiva. Suponha que  é ímpar, ou seja,  e portanto,

com . Assim é ímpar.

Em (1), temos usando o lema 1 que  par implica que  é par, ou seja,  com . Portanto, , ou ainda, , concluindo que , ou seja,. Usando o mesmo lema concluímos que  é par, mas isso é um absurdo, pois . Assim, a diagonal do quadrado e seu lado não são comensuráveis.

Os números irracionais são números que não podem ser expresso na forma  com  em que  são inteiros. Como vimos acima o conhecimento desses números, provavelmente, está relacionado com a prova da irracionalidade da diagonal do quadrado de lado . É atribuído a Hipaso de Metaponto a descoberta da diagonal desse quadrado com isso o mesmo foi expulso da “ordem” dos pitagóricos. Sem dúvida alguma os números irracionais mais famosos são e . A irracionalidade de  foi provada por Lambert no século XVIII. Outros matemáticos demonstraram a irracionalidade de  dentre eles Hermite, Cartwright, Niven e Bourbaki. Lambert também demonstrou a irracionalidade de . Lindemann provou que  era transcedente em . Hermite provou em  a transcedência de . Com a prova de Lindemann ficou resolvido um problema da grécia antiga denominado de quadratura do círculo usando régua e compasso, ou seja, a transcedência de  estabelece a impossibilidade de resolver o problema de quadratura. Para finalizar este artigo, é importante citar que os números irracionais são divididos em dois grupos: os irracionais algébricos e os irracionais transcendentes que trataremos em posts futuros.


Leia outros posts na lista Posts por Ordem Alfabética.

PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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