Descartes e a Equação Quadrática

equação_descartes
Figura 1: Método de Descartes para construir as raízes da equação quadrática.

René Descartes (1596-1650), matemático francês e inventor da Geometria Analítica apresentou um método de construção das raízes da equação quadrática  com  e . O método é baseado na figura 1.
Sejam . Por  traçamos a perpendicular  a . Centrado em , traçamos um arco de círculo de raio  que intercepta  em  e . Provaremos a seguir que os segmentos  e  são as raízes da equação .

Para ver que os segmentos  e  são de fato, as raízes da equação quadrática, seja  o pé da perpendicular baixada de  sobre . Usando o teorema de Pitágoras no , temos
Assim,

e

 Sendo

segue da propriedade da soma e produto das raízes da equação quadrática, segue que  e  são as raízes de . Note que se , a circunferência é tangente a reta  e a única raiz da equação é .

Exercícios: 

Use régua e compasso e construa as raízes da equação .


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PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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