A Lei dos Senos e Aplicações na Estática

bolax
Figura 1: Bola metálica em equilíbrio.
O estudo da Geometria Plana e Trigonometria é fundamental para compreender muitos conceitos em outras áreas da Matemática. É interessante observar que alguns teoremas tem aplicações em algumas áreas da Física. Por exemplo, a lei dos senos tem aplicações no equilíbrio de pontos materiais e este será o assunto tratado neste post.
 
Teorema 1: (Lei dos Senos) Em um  qualquer, a razão entre qualquer lado e o seno do ângulo oposto é constante, isto é, 
Demonstração: Existe uma prova usando o circuncentro, mas preferi dividi-la em dois casos.

Caso 1: O  é acutângulo: Considere a figura 2 abaixo:

leidosenos2
Figura 2: Triângulo ABC acutângulo.
Seja  a altura relativa ao vértice . Assim,
de modo que
Considere agora  a altura relativa ao vértice . Pela definição de seno em um triângulo retângulo,
de modo que
De (1) e (2) segue o resultado.

Caso 2:  é obtusângulo: Seja  a altura relativa ao vértice .

leidosenos3
Figura 3: Triângulo ABC obtusângulo.

Assim,de modo que

Seja  a altura relativa ao vértice . Assim,

de modo que
Seja  a altura relativa ao vértice . Assim,
Usando o fato que , segue que

A aplicação da lei dos senos em alguns problemas de Estática é fundamentada no teorema a seguir:

Teorema 2: Sejam três forças coplanares e concorrentes conforme a figura 4. Considere os ângulos formado por estas forças conforme a figura 4. Se , então 
leidosenos4
Figura 4: Três forças concorrentes no plano.
Demonstração: Para provar a tese, colocamos um sistema de coordenadas cartesianas, conforme a figura 5 abaixo:
leidosenos5
Figura 5: Três forças concorrentes no plano cartesiano.

Se , então

de modo que

Da expressão (5), temos:
Da expressão (6),
De (7) e (8), segue o resultado.
 Exemplo 1: O sistema mecânico abaixo está em equilíbrio estático. Sabendo que , ache o valor de .
leidosenos6
Figura 6: Bloco pendurado em equilíbrio estático.
 Resolução: Pela lei dos senos, 
Exercício Proposto: O sistema mecânico na figura 7 está em equilíbrio estático. Determine o valor de  e da tensão .
leidosenos7
Figura 7: Sistema mecânico em equilíbrio estático.

Leia outros posts na lista Posts por Ordem Alfabética.

PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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