Uma Generalização do Teorema da Bissetriz Interna

bissetriz2x
Figura 1: Ceviana AM de um triângulo ABC.

Um teorema interessante na Geometria Plana, é o teorema da bissetriz interna, cuja demonstração é feita usando semelhança de triângulos. Neste post, veremos através da lei dos senos, que este teorema é um caso particular de uma propriedade mais geral que enunciaremos abaixo.

Teorema 1: Seja  uma ceviana o qual forma os ângulos  e  com os lados  e   respectivamente. Então

Demonstração: Aplicando a lei dos senos nos triângulos  e , temos:

Dividindo (3) por (2), segue que

Novamente, pela lei dos senos no ,

De (4) e (5), segue a identidade (1).

Corolário 1: Se  é um ponto sobre , de modo que  então vale o teorema da bissetriz interna, isto é,

bissetriz2
Figura 2:  Bissetriz interna AM de um triângulo ABC.

Demonstração: Neste caso,  e o resultado segue do teorema 1.

Corolário 2: Se  e , então 

Demonstração: Pela lei das áreas nos triângulos  e , temos:

Assim,

Pelo teorema 1,

Substituindo (7) em (6), segue o resultado.


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PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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