O Teorema da Corda Quebrada de Arquimedes

al-biruni2
Figura 1: Albul Raihan al Biruni.
O matemático árabe Abul Raihan al Biruni  atribui a Arquimedes, uma elegante proposição geométrica, denominado teorema da corda quebrada o qual enunciaremos abaixo:
Teorema 1 (Arquimedes): Se  e  compõem uma corda quebrada ABC, onde  e se  é o ponto médio do arco , então o pé da perpendicular  de  sobre  é o ponto médio da corda quebrada.
corda_quebrada
Figura 2: Corda quebrada ABC em uma circunferência.
Demonstração: Na figura 2, provaremos que
Desde que  existe um ponto  sobre  tal que . Por hipótese,  é o ponto médio do arco , de modo que , pois cordas de arcos congruentes são congruentes. Além disso, , pois são ângulos de um mesmo arco . Sendo , segue que .
Desta congruência desses triângulos, segue que  o que prova que o  é isósceles. Sendo  sua altura, então , pois  e . Assim, , de modo que
Logo,
Consequência: Se o arco  e o arco , então
e
Na figura abaixo,  é a corda quebrada, .
corda_quebrada2
Figura 3: Aplicações do teorema da corda quebrada.
 No ,
e no ,
No , retângulo em , ou seja, 
Assim,
 Analogamente, no triângulo retângulo , temos:
Assim,
Pelo teorema da corda quebrada, , de modo que
No , retângulo em ,
Mas o arco, , donde segue que
Logo,
donde segue a identidade (1).
Para provar a identidade (2), sabemos do teorema da corda quebrada que  e que o arco . Assim,
Logo,
donde segue a demonstração.

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PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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