Sobre a Densidade de Sólidos e Líquidos

densidade1
Figura 1: Densímetro para gasolina.

As propriedades dos materiais são agrupadas em químicas e físicas. As propriedades químicas descrevem uma transformação química, tal como a transformação de uma substância em outra. As propriedades físicas não envolvem qualquer mudança na composição ou identidade. Por exemplo, o conceito de densidade está relacionado aos conceitos de compressão e empacotamento. Desta forma, quanto maior for o empacotamento dos átomos, mais densa é a substância. Neste post, trataremos da densidade dos sólidos e líquidos através do princípio de Arquimedes.

Definição 1: A densidade de um substância é definida como a razão entre sua massa  e seu volume , ou seja: 

Em geral, a densidade é dada em  ou . A densidade de um objeto ou de um líquido é alterada com a temperatura. Por exemplo, para várias aplicações é usual adotar a densidade da água igual a .

Na obtenção da densidade de sólidos e líquidos muitas vezes não dispomos de meios para determinar corretamente o seu volume. Na maioria das experiências realizadas em aulas práticas de Física utiliza o princípio de Arquimedes e uma balança de molas ou um dinamômetro.

Quando mergulhamos um corpo qualquer em um líquido, verificamos que este exerce, sobre o corpo, uma força vertical dirigida para cima, que tende a impedir que o corpo afunde. Esta força, devido ao fato que a pressão hidrostática varia com a profundidade denomina-se empuxo do líquido sobre o corpo mergulhado e será denotada por  . O grande matemático grego Arquimedes (287-212 a.C.) descobriu que o módulo do empuxo é proporcional a quantidade de líquido deslocada pelo corpo, ou seja:

na qual  é a massa de líquido deslocado e  é a aceleração da gravidade. Sendo  segue que

Notamos que o valor do empuxo será tanto maior quanto maior for o volume deslocado e quanto maior for a densidade do líquido. Por outro lado, o peso do corpo mergulhado no líquido pode ser expresso em função da sua densidade  e do seu volume , isto é,

Dividindo membro a membro as expressões (1) e (2), temos:

Vejamos dois casos de um corpo sobre um líquido.

Caso 1: Corpo não poroso totalmente mergulhado em um líquido. 

Quando o corpo estiver totalmente mergulhado no líquido, o volume de corpo não poroso é igual ao volume deslocado de líquido, isto é,

donde segue que

Desta expressão, podemos achar a densidade do corpo em função da sua massa, da massa do líquido deslocado e a densidade do líquido. Além disso, substituindo a expressão (4) na expressão (3), temos também:

A expressão (6) permite algumas interpretações:

i) Se  então  e o corpo irá afundar. 

ii) Se , então  e o corpo irá flutuar ou ficará em equilíbrio quando estiver totalmente mergulhado. 

Caso 2: Corpo não poroso parcialmente mergulhado em um líquido. 

Neste caso, temos a seguinte proposição muito útil.

Proposição 1:   Se um corpo de densidade  no formato de um cilindro ou paralelepípedo de altura  está parcialmente imerso em um líquido de densidade  e  é altura da parte mergulhada do bloco, então

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Figura 2: Corpo no formato de um cilindro ou paralelepípedo parcialmente imerso em um líquido.

 Demonstração: Seja  a área da base do bloco. O peso do bloco é dado por  e o empuxo sobre este bloco é . Mas, o bloco está em equilíbrio com o líquido, de modo que . Assim, 

Exemplo 1: Um cilindro metálico, cuja área da base é  e cuja altura é  está flutuando em mercúrio de densidade . A parte do cilindro mergulhada no líquido tem altura . Considere  determine o peso do cilindro. 

Resolução: Seja  a densidade do cilindro. Como o cilindro está flutuando sobre o mercúrio, vale a Proposição 1, de modo que 

Logo,

Exemplo 2: Um objeto está dependurado na mola de uma balança. A balança registra  no ar,  quando o objeto se encontra imerso na água e  quando ele se encontra imerso em um líquido de densidade desconhecida. Qual a densidade do líquido? 

Resolução: Da expressão (6), temos 

Usando esta mesma expressão quando colocamos o corpo no líquido de densidade desconhecida, temos:

Exemplo 3: Um bloco de madeira flutua em água com dois terços de seu volume submerso. Em óleo, flutua com  de seu volume submerso. Encontre a densidade

a) da madeira;

(b) do óleo.

Resolução: O volume do bloco de madeira é . Pelo enunciado, se  representa o volume da parte submersa e  a altura da parte submersa na água, então

Da Prop. 1,

Analogamente, se  representam o volume da parte submersa e a altura da parte submersa respectivamente, então

e novamente pela Prop. 1,

Exemplo 4: Um bloco feito de material de densidade , com  de altura, de comprimento e  de largura, flutua em água servindo como ponte. Quando um caminhão passa sobre ele, verifica-se que  do volume do bloco fica submerso. Sendo a densidade da água igual a , determine a massa do caminhão. 

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Figura 3: Caminhão sobre uma plataforma flutuando na água.

Resolução: Sejam  as massas do bloco e do caminhão respectivamente. Como o sistema está em equilíbrio, então o peso do bloco adicionado ao peso do caminhão é igual ao empuxo . Se representam a largura, o comprimento e a altura do bloco, então . Mas, , sendo  a fração do volume do bloco que está submersa. Assim, 

 ou seja,

Referências Bibliográficas:

– De Paoli, Andrade. A Determinação da Densidade de Sólidos e Líquidos. Universidade Estadual de Campinas.

– Montanheiro, Maria N. Stolf. Determinação da Densidade de Sólidos e Líquidos pelo Princípio de Arquimedes. 

–  Halliday, Resnick, Walker, Fundamentos de Física, Vol. 2, 8ª Edição, 310 páginas, Editora LTC. 


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PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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