Sobre o Produto Escalar

Escalar
Figura 1: Ângulo formado por dois vetores. 

O produto escalar é uma ferramenta matemática muito útil para resolver alguns problemas físicos e matemáticos. Geralmente, ele é um tema da  Geometria Analítica que o estudante tem contato nos primeiros semestres da universidade.

Definição 1: O produto escalar dos vetores  e , denotado por  é definido por: 

Segue definição (1) que , ou seja, o produto escalar é comutativo. Além disso,  note que

Consequentemente, .

Proposição 1: Se  é o ângulo entre dois vetores  e , então 

sendo  ângulo formado pelos vetores  e 

Demonstração: De fato, pela lei dos cossenos,

Mas,

 De (2) e (3) segue o resultado.

Exemplo 1: Considere o cubo no primeiro octante do sistema de coordenadas cartesianas, formado pelos pontos A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1), F(1,0,1), G(1,1,1) e H(0,1,1). Determine o ângulo entre a aresta AB e a diagonal do cubo AG.

cubecood
Figura 2: Cubo de aresta unitária no primeiro octante do sistema de coordenadas cartesianas.

Resolução:  Basta calcular o ângulo entre os vetores

e

Note que  e , de modo que pela proposição 1,

Exemplo 2: Mostre que

Resolução: Considere os vetores   e  . Note que  e que

Sendo o ângulo formado por estes vetores unitários iguais , segue da proposição 1 que:

Existem outras aplicações importantes relacionada com o produto escalar, tais como o cálculo do trabalho de uma força constante e em problemas que aparece o vetor projeção.


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PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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