O Comprimento das Bissetrizes Internas de um Triângulo

bissetriz1
Figura 1: Bissetriz interna relativa ao vértice A.

Neste post apresentarei uma fórmula para calcular o comprimento das bissetrizes internas de um triângulo através da lei das áreas, a lei do cosseno e da famosa fórmula de Heron.

Definição 1: A semirreta que divide um ângulo em dois ângulos é chamada de bissetriz.

Proposição 1:  Se  é o comprimento da bissetriz  do   relativa ao vértice , então:

sendo  o semi-perímetro do .

Demonstração: O primeiro passo para deduzir a expressão (1) é aplicar a lei dos cossenos no , isto é,

Isolando  desta expressão, temos

Usando o fato que  , segue que

Por outro lado, pela lei das áreas, a área de um triângulo é igual a semi-produto de dois lados pelo seno do ângulo formado por eles. Assim,

ou seja,

Pela fórmula de Heron,

Substituindo as expressões (2) e (4) em (3), temos

Simplificando os termos semelhantes e isolando  segue o resultado.

É claro que o comprimento das bissetrizes do  em relação aos outros vértices são:

Corolário 1: Se o   é retângulo  em , então o comprimento da bissetriz interna relativa ao ângulo reto é

Demonstração: Note que

de modo que

Substituindo (5) em (1), segue que

Observação 1: Segue do Corolário 1 que os catetos e o comprimento da bissetriz interna de um triângulo retângulo relativa ao ângulo reto são grandezas incomensuráveis, pois

Portanto, se as medidas dos catetos são números racionais, o comprimento da bissetriz é irracional.


Leia outros posts na lista Posts por Ordem Alfabética.

 

PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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