Sobre o Duplo Produto Vetorial e Generalizações

Neste post veremos um tipo de produto que raramente é apresentado na disciplina de Geometria Analítica ou Cálculo Vetorial.

duploproduto1
Figura 1: Representação geométrica do duplo produto vetorial.

Trata-se do duplo produto vetorial que possui valores diferentes conforme a forma que associamos os vetores  e .

Definição 1: O duplo produto vetorial   dos vetores  e , tomados nesta ordem é definido por:

Proposição 1: O duplo produto vetorial  pertence ao plano definido pelos vetores  e  conforme a figura 1 e é dado por:

ou seja, “O duplo produto vetorial  é igual a diferença entre dois vetores, cujo coeficiente do primeiro termo é igual ao produto escalar do primeiro com o terceiro vetor e o coeficiente do segundo vetor é igual ao produto escalar do segundo pelo terceiro vetor”.

Demonstração:   Na figura 1,  é perpendicular ao plano formado pelos vetores  e . Portanto,  é perpendicular a , e deste modo, deve estar contido no plano definido pelos vetores  e . Assim, existem  tal que

Sendo , segue que

Substituindo (4) em (3), segue que:

No caso particular em que , temos:

Tomando o produto escalar em ambos os lados desta expressão, obtemos:

Usando o fato que o produto vetorial é comutativo com o produto escalar, isto é,  e permutam-se no produto misto, podemos escrever

Por outro lado, a identidade de Lagrange afirma que:

Assim,

Substituindo este valor na expressão (5), temos:

Consequentemente,

o que demonstra a proposição.

Observação 1: Podemos escrever o duplo produto vetorial na forma de um determinante , isto é,

Observação 2: Sendo 

comparando com a expressão dada na observação 1, concluímos que

Exemplo 1: Mostre que

sendo  o produto misto dos vetores  e .

Resolução: De fato, seja . Assim,

Exemplo 2: Prove que 

Resolução: Sendo

então,

Exemplo 3: Mostre que

Resolução: De fato,  seja . Assim,

donde segue o resultado.

Exercícios Propostos:

  1. Prove que .
  2. Mostre que Sugestão: Faça  e  no Exemplo 3.
  3. Prove a identidade
  4. Prove a identidade de Lagrange
  5. Mostre que 

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PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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