A Área do Retângulo

retângulo
Figura 1: Retângulo de lados a e b.

Para calcular a área de uma figura, escolhemos como unidade de área um quadrado cujos lados sejam de comprimento unitário. Assim, se a unidade de medida for o centímetro, a unidade de área correspondente será o centímetro quadrado, isto é, um quadrado cujos lados medem 1 cm.

Observe que as fórmulas para calcular as áreas de algumas figuras geométricas tais como, triângulos, paralelogramos, losangos e trapézios são deduzidas a partir da fórmula que calcula a área do retângulo.

Teorema 1: Dado um retângulo de lados  e  racionais ou não, sua área 

Demonstração: Para ver isso, dividiremos a prova em duas partes. A primeira é supor que  e  são racionais positivos, isto é,

onde  e  são inteiros positivos. De (1), segue que

A grandeza  é a medida comum dos dois lados. Assim, podemos reescrever as expressões dada em (2) por

Para concluir este caso, subdividimos o retângulo em pequenos quadrados de lado , cuja área de cada quadrado é . Observe que o número total  desses quadrados é dado por

Desta forma, a área  do retângulo é igual ao número total de “quadradinhos” vezes a área de cada “quadradinho”, ou seja,

Para o caso em que  e  são irracionais, usamos o fato que existem sequências de racionais  e  tais que

Proposição 2: Seja  a área do retângulo de lados  e , isto é,  . Definindo

então  com  e  irracionais.

Demonstração: De fato, usando as expressões dadas em (3) temos:

Exemplo: Um retângulo possui base  e altura  sendo  e  escalas distintas. Suponhamos que  e . Determine a sua área.

Resolução: O número total de quadrados de lado  é

Logo, teremos 90 “quadradinhos” de lado . Portanto, o retângulo possui área de .

 

Observação 1: O método de Eudoxo de dupla redução ao absurdo também pode ser aplicado mostrando que  e  não podem ocorrer. Alguns autores usam a teoria das proporções para obter este resultado, mas sabemos que esta teoria está intimamente relacionada com a moderna teoria dos limites.

Observação 2: Prosseguindo de modo análogo, podemos mostrar que o volume de um paralelelípedo retângulo de lados  e c racionais ou não é o produto de seus lados.

 

Referência Bibliográfica:

  • Richard Courant. O Que é Matemática? Editora Ciência Moderna Ltda. Rio de Janeiro, 2000.

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PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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