Alguns Fatos da Tangente de um Ângulo Agudo

triangulo_agudo
Figura 1: Triângulo Agudo.

Neste post veremos algumas propriedade curiosas da . Não farei referência a função trigonométrica , devido ao fato que este assunto é muito bem explorado em vários livros.

Por volta de 1580, o matemático François Viéte descobriu um bonito teorema que desapareceu dos livros textos atuais: A Lei da Tangente que veremos a seguir.

Proposição 1: (Lei das Tangentes) Em triângulo  agudo, temos:

Demonstração: Para demonstrar a identidade (1), aplicamos a lei dos senos no triângulo , isto é,

e

de modo que

Mas,

  e

Assim,

Proposição 2: Se , então

Demonstração: Geometricamente, o resultado é obtido analisando a figura 2 abaixo:

tangentepsp
Figura 2: Retângulo de altura 1.

Analiticamente, temos:

donde segue o resultado.

Proposição 3: Se  e  são os ângulos internos de um triângulo , então

Demonstração: Sendo , então

ou seja, . Assim,

ou seja,

Corolário 1: Em um triângulo acutângulo , o produto das tangentes dos três ângulos nunca é menor que , ou seja,

Demonstração: Sendo o triângulo acutângulo, a tangente dos ângulos internos são positivas, de modo que podemos usar de desigualdade aritmética-geométrica , isto é,

 

Pela proposição 1,

de modo que

Elevando ao cubo e simplificando segue a desigualdade (3).

Para encerrar este post, vejamos a aplicação da tangente no cálculo da largura de um rio.

Exemplo 1: Uma pessoa com um teodolito ou um aparelho que pode ser confeccionado com um transferidor mede os ângulos agudos  e  de uma margem de um rio, tomando como referência um ponto  do outro lado da margem do rio. Sabendo que a distância entre os pontos (que pode ser medida contando o número de passos) é , determine a largura  do rio naquele trecho. (Ver figura 3).

rio
Figura 3: Usando a tangente para calcular a largura de um rio.

Resolução: No triângulo retângulo ,

donde segue que

e no triângulo retângulo ,

Adicionando as expressões (4) e (5), temos:


Leia outros posts na lista Posts por Ordem Alfabética.

PAULO SERGIO COSTA LINO

Bacharel em Engenharia Agrícola pela Universidade Federal de Lavras (UFLA), mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). A minha jornada é compreender e divulgar a Matemática e outras áreas afins.

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